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Este blog fue creado como una ayuda o guía para aquellos que estén interesados en conocer acerca de la lógica matemática. Esperamos que los temas que se presentan a continuación sean útiles para ustedes.

5/26/2010

Aplicaciones de la Lógica

Debido a su importancia la lógica se aplica a varias áreas entre ellas la ingeniería ,en la electrónica para el diseño de circuitos mediante compuertas lógicas y en programacion para el diseño de programas que requieren la unión de operadores lógicos.


La lógica no es solo objeto de estudio como ciencia exacta sino que es relevante en cuanto a que todos estamos haciendo uso de ella en la vida cotidiana, por ejemplo los operadores lógicos han de ser utilizados todos los días al expresarnos mediante nuestro idioma y al tomar decisiones en cualquier aspecto de la vida de aquí la importancia que se le da a esta ciencia.




Las compuertas lógicas son una aplicacion de la lógica llevada al diseño de circuitos.


Los operadores lógicos utilizados en programacion son los mismos de la lógica de proposiciones.


5/25/2010

¿Qué es?

La lógica matemática es la disciplina que se vale de métodos de análisis y razonamiento. Utilizando el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico. La lógica matemática nos ayuda a establecer criterios de verdad, equivalencias lógicas tales como el silogismo, hacer demostraciones de teoremas y es auxiliar en el análisis de argumentos planteados.

Su historia ..


Giuseppe Peano fue quien bautizó este método como “Lógica Matemática”. Fue creada siguiendo los pensamientos del filosofo Griego Aristóteles, claro está que tomándolo de una forma más indeterminada.
Matemáticos y Físicos como Leibniz (Creador del Sistema Binario) y Lambert realizaron algunos intentos de tratar las operaciones Lógicas formales de una manera simbólica, pero sus estudios se preservaron desconocidos.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.


El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico, como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados .La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.


En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Fue el precursor de la lógica matemática, proponiendo un sistema binario para la realización de cálculos.





El infinito y la lógica de primer orden

La lógica de primer orden actualmente se encuentra en el problema acerca del concepto de infinito, pues hay muchas teorias sobre este tema que han sido propuestas por Aristoteles, Leibniz y los pensadores de la logica atraves de la historia.


La proposición

La proposición es una oración aseverativa de la que se tiene sentido decir que es verdadera o falsa.

Para que una expresión lingüística sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos:
1) Ser oración
2) Ser oración aseverativa, además
3) Ser o bien verdadera o bien falsa.

No son ejemplos de proposiciones:

1) Las oraciones interrogativas, imperativas o exhortativas, desiderativas, exclamativas o admirativas y las dubitativas.
2) Los juicios de valor.
3) Las pseudoproposiciones.
4) Las funciones proposicionales.
5) Las descripciones definidas, y
6) Los filosofemas.

Clases de proposiciones

Atómicas:
carecen de conjunciones gramaticales típicas conectivas (‘y’,’o’, ’si…entonces’, ’si y solo si’) o del adverbio de negación no.

Moleculares: contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo ‘no’. Estas se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación ‘no’ se llaman negativas.


Operadores lógicos: el lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: variables proposicionales y operadores o conectores lógicos.


Las variables proposicionales representan a cualquier proposición atómica. Son le tras minúsculas del alfabeto castellano ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’, etc. Los operadores lógicos además de enlazar o conectar preposiciones establecen determinadas operaciones entre ellas.


TABLAS DE VERDAD

• De la conjunción: Solo es verdadera cuando las dos sean verdaderas




• De la disyunción inclusiva: Es verdadera cuando alguna de las 2 sea verdadera.



•De la disyunción exclusiva: Si las variables tienen el mismo valor, la disyunción exclusiva será falsa.



• Del condicional: Solo es falso cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.



• Del bicondicional: solo es verdadera cuando las 2 tengan el mismo valor.


• De la negación: Cambia el valor de la variable.




• De la negación conjunta: Es verdadera cuando p y q sean falsas.



• De la negación alterna: Solo es falsa cuando p y q sean verdaderas.


Clasificación de las formulas moleculares por su matriz principal

Definición de formulas moleculares complejas: para definir tubularmente formulas moleculares complejas se deben tener en cuenta los siguientes pasos:
1. Se establece jerarquía entre los operadores mediante los signos de agrupación.
2. Se construyen las matrices secundarias que corresponden a las de los operadores de menor jerarquía aplicando sus respectivas definiciones:
3. Para terminar se construye la matriz principal es decir la del operador de mayor jerarquía.
Clasificación de las formulas moleculares por su matriz principal:
Ø Formulas moleculares tautológicas (FMT): los valores de su matriz principal son todos verdaderos.
Ø Formulas moleculares consistentes (FMC): los valores de su matriz principal son algunos falsos y algunos verdaderos.Ø Formulas moleculares inconsistentes o contradictorias (FMI): los valores de su matriz principal son todos falsos.


Implicación y equivalencia de formulas

Dos formulas ‘A’ y ‘B’ son equivalentes si y solo si sus matrices principales son iguales; si sus matrices son diferentes, se dice que ‘A’ y ‘B’ no son equivalentes.

Implicación y equivalencia de formulas: una formula ‘A’ implica a ‘B’ si y solo si unidas en forma condicional, ‘A’ como antecedente y ‘B’ como consecuente, su matriz resulta tautológica; en caso contrario se dice que ‘A’ no implica a ‘B’.


Metodos para verificar si una inferencia es valida

Inferencia : se compone de premisas y conclusión.

Análisis de inferencias: La lógica es fundamentalmente una teoría de la inferencia, estudia la validez de las inferencias para decidir su validez la lógica cuenta con procedimientos de varios tipos. Estos procedimientos o métodos pueden agruparse en dos clases: métodos sintácticos y métodos semánticos. El método de la tabla de verdad y el método abreviado son ejemplos de métodos semánticos.

*Tabla de verdad: es un algoritmo o procedimiento decisorio porque a través de la aplicación mecánica de un conjunto de reglas permite decidir la validez o invalidez de las inferencias.

*Método abreviado: este método se usa cuando queremos ahorrar tiempo, ya que el número de variables es superior a 3 y el algoritmo de la tabla de verdad se torna engorroso. Mostrare un ejemplo de este método:

* Método analógico: este método consiste en comparar la forma o estructura de la inferencia que se quiere analizar con otra lógicamente valida.






Parte de la información tomada de:
Lógica matemática. En: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica